2011年“北約”“華約”自主招生考試簡單試題分析

在去年和今年的AAA測試中，都出現(xiàn)了一道和其他學科聯(lián)系的題目，2010年五校聯(lián)考出了一個生物背景的題目，2011年的七校聯(lián)考則出了一個不折不扣的物理問題：

一個均勻的質(zhì)量為a的杯子，里面裝滿水，水的質(zhì)量為b，問里面裝多少水的時候重心最低？

從物理意義上來分析，這個題目很顯然，當重心落在水面上的時候是重心最低的時候，數(shù)學強調(diào)的是推導意義，因此只要抽象出基本的數(shù)學模型，用最簡單的函數(shù)知識就可以解決。

類似于這樣的問題，其實母體仍然出現(xiàn)在高考當中，只是較之高考，更加強調(diào)一般性問題的解決，更加強調(diào)在數(shù)學層面上的分析和推導，這和北約方數(shù)學試題的第6個題思路不謀而合。

平面上給定兩個定圓，一個動圓和兩個定圓相切，求動圓圓心的軌跡，并證明。

這個題目筆者在今年學而思秋季的數(shù)學課程上詳細講解過，這個題目有兩個關(guān)鍵點，一個是處理相切時的狀態(tài)，得到點之間的距離關(guān)系；一個是注意在定圓的不同位置關(guān)系下和動圓的不同相切（內(nèi)切和外切）狀態(tài)下有不同的結(jié)論。本題可以分很多種情況，不妨解釋其中的一種：

這個問題其實在高考復習階段，很多練習中會有一個到兩個的具體例子，但是很多同學對這個問題并沒有重視，這個題目就是從特殊情況（練習中的例子）到一般情況的一個拓展，學生如果平時不注重分析，這個題目往往會無法下手或者考慮情況不全，從這個意義上來說，自主招生并不是要一味求難求偏，而更強調(diào)在平時學習中能夠“多想一點，多走一步”，這樣的積極主動學習會給自主招生這類考試帶來極大的益處。